Gleichungen

Äquivalenzumformungen von Gleichungen lassen sich an der Waage darstellen und auch negative Zahlen, Dezimalbrüche mehreren Grades..sind anschaulich möglich. Das steht in fast jedem Schulbuch. Dabei wird das Verständnis gefördert, was hinter x stecken kann und die Waage gibt durch Ausprobieren Rückmeldung, ob diese Bewegung an der Waage ein Ungleichgewicht erzeugt. Das Material gibt nun die Rückmeldung zu falschen Operationen. Eine schöne Vorstellung, aber meine ersten Versuche mit Waagen Gleichungen umzusetzen scheiterten meist sehr schnell, brachten unpräzise Ergebnisse oder es ließen sich nur sehr einfache Gleichungen darstellen. Nun habe ich es endlich geschafft, dass ich Gleichungen mit Dezimalbrüchen, negativen Zahlen, sogar Mulitplikation mit negativen Zahlen schnell und einfach darstellen erzeugen lassen.

Gleichungen im positiven Bereich:

Nutze eine Balkenwaage oder die Waage aus dem goldenen Meterstab wie abgebildet. Wichtig ist der gleiche Abstand  von der Aufhängung in der Mitte. Für ein genaueres Ergebnis bohre drei Löcher in den Meter und fädel die Aufhängungen dadurch.

Wie in Gewichten schon beschrieben können einfache Gleichungen auch mit unbekannten Säckchen dargestellt werden zum ersten Raten einladen und die möglichen Bewegungen an der Waage ohne zu Rechnen mit gleichmäßigem Wegnehmen oder Aufteilen darstellen.

x+40=50

Dazu lege 4 Zehnerstangen auf die eine Seite. Lege 1 Zehnerstange in das Säckchen auf dieser Seite und lege 5 Zehnerstangen auf die andere Seite. 

Nun lass Raten.

Dann zeige an der Waage gelöst werden kann ohne zu Rechnen und notiere dabei den Gleichungsvorgang, indem du von beiden Seiten 4 Zehnerstangen wegnimmst. Die Waage bleibt immer im Gleichgewicht. 

2x+30=90

Nun brauchst du 4 gleiche Säckchen von denen du zwei heimlich mit je 3 Zehnern füllst und sagst, dass in beiden Säckchen gleichviel drinnen ist. Lass Raten und zeige mit Rechnungsaufzeichnung, wie du ohne zu Rechnen an der Balkenwaage die Aufgabe lösen kannst. 

Nimm zunächst wieder von beiden Seiten 3Zehner-g - Stangen weg. die Waage bleibt im Gleichgewicht. 

2x=60

Teile nun auf beiden Seiten das Gewicht auf zwei gleiche Häufen und bestimme was nun in einem Säckchen sein muss. Sieh nach, ob dein Ergebnis stimmt

x=30

Natürlich lassen sich viele Gleichungen im positiven Bereich kreieren. Vieles der Regeln wird erst klar, wenn man es erst falsch ausprobieren durfte und die Waage aus dem Gleichgewicht gebracht hat.

3=2x+2

Wieder vier Säckchen verteilt. In die zwei "x" Säckchen werden 50g getan 200g offen dazu auf die rechte Waagenseite. Auf die linke Waagenseite lege 300g auf zwei leere Säckchen.

Jetzt schreibe ich Statt den Hundertern in die Gleichung immer nur noch die Anzahl der Hunderter.

Schreibe die Gleichungsoperationen während gemeinsam an der Waage gelöst wird. Nun können auch Dezimalbrüche realisiert werden.

Nur  noch ein, maximal zwei "X" Säckchen für fast jede lineare Gleichung befüllen. An der Laufgewichtswaage:

-->Laufgewichtswaage  

Dafür brauchst du 6 blickdichte  sehr leichte(<10g) Säckchen ca. 12 cm hoch in 2 Farben. Eine Feinwaage um Messfehler zu minimieren, die sich hierbei multiplizieren, Heißkleber, 6 Schnürsenkel mit festen, stabilen Enden, zwei kleinen Tüten und zum Beispiel Sand als Gewicht :  Markiere je zwei Säckchen mit "1x" zwei mit "1" und zwei mit "10", wobei jedes Symbol in einer Farbe für die linke und einer anderen für die rechte Waagenseite geschrieben seien sollten. Fülle die vier Säckchen mit der "1" und mit dem "x" mit einem halben Schnürsenkel auf 10g auf, indem du Heißkleber in die Ecken des umgestülpten Säckchen laufen lässt, bis die Feinwaage 10,0 g anzeigt. Fülle die zwei Säckchen "10" mit einem halben Schnürsenkel, auf 100g auf,indem du alles auf die Feinwaage stellst zwei kleine verschließbare  Tüten darauf und, das nun mit einem Trichter Sand einfüllst bis die Feinwaage 100,0 g anzeigt.  Nun sind 6 Säckchen vorbereitet. Aus dem Material Gewichte nehme dir die blauen Zehngrammgewichte und kontrolliere sie ebenfalls auf der Feinwaage und ergänze eventuell mit Heißkleber oder schleife Material ab. Bohre an der Waage Löcher im Abstand von 5 cm und eines in jedes Enden im Durchmesser der Schnürsenkelspitzen. Markiere dir die Ziffern 1-10 an der Waage im Abstand von 5 cm von der Aufhängung aus auf der linken und rechten Seite an dem aufgehängten Meterstab. Stecke zum Aufhängen der Säcke den Schnürsenkel an dem das Säckchen befestigt ist in das Loch. Ein schnelles und einfaches Umhängen ist nun durch stecken der Schnürsenkelspitzen ist nun möglich.

Teste die gleichen Bewegungen von der Balkenwaage nun für die Laufgewichtswaage. Hänge ein "x" Säckchen und zwei "1" Säckchen so auf, sodass die Waage im Gleichgewicht ist. Notiere dir die Gleichungen im Gleichgewicht mit x. In das x-Säckchen fülle mit weiteren 10g auf 20 g aus. Notiere wieder Möglichkeiten der Gleichungen im Gleichgewicht. Fülle "x" mit beliebigem Gewicht und notiere die Gleichungen.  Teste auch mit zusätzlichen"10"er Säckchen.  Auch mit weiteren 5 g , 2 g oder 1g im "x" Säckchen lassen sich Gleichungen notieren. Finde sie. 

Äquivalenzumformung durch Ausprobieren:

Dann probiere eine Waage im Gleichgewicht aus, deren x du nicht kennst und probiere Bewegungen aus, die die Waage im Gleichgewicht halten und dennoch andere Gleichungen erzeugen. Notiere dir die erfolgreichen Bewegungen, die man immer machen konnte und solche, die nur selten funktioniert haben. Notiere dir Beispiele.

Beschreibe Bewegungen, die man als Addition oder Subtraktion bezeichnen könnte? 

Könnte man auch teilen oder multiplizieren? Probiere aus und beschreibe erneut sowohl erfolgreiche, als auch Bewegungen, die nicht geklappt haben. 

+/-eine Zahl bedeutet nun Verschieben auf beiden Seiten in entgegengesetzte Richtungen, wobei immer nur beide "1" Säckchen gleichmäßig sich bewegen können. wobei das x auf der Stelle bleibt. Mit der Vervielfachung der Waage oder teilen auf mehrere Waagen kann die Multiplikation und Division veranschaulicht werden. Mit zwei Meterstäbewaagen nebeneinander gleich gefüllt behangen wird es deutlich zu vervielfältigen. Knote dann die Säckchen aneinander, sodass sie untereinander alle zu sehen sind. Dann über setzte die 2 aneinandergehängten Säckchen wieder in eines, dass an der Waage hängt, indem die Aufhängungsposition mal zwei gerechnet wird und entsprechend umgesteckt. die zweite wird nun wie die Anfangswaage befüllt und erneut hinzugefügt. Nun ist die Mulitplikation mit 3 Waagen entstanden.  Notiere die Gleichungen. und Dividiere anschließend genauso, indem du an weitere Meterstäbe als (Fake-waagen gleichmäßig aufteilen lässt.)

Bei 2x+3=9 hänge ein x Säckchen (vorher heimlich aufgefüllt auf 30 g auf die 2 und in der gleichen Farbe die "1" an die 3  auf der linken Seite und die "1"in der anderen Farbe an die 9 auf der anderen Seite. Für 5x-2=23 Hänge "x" (heimlich auf 50 g aufgefüllt) an die 5,  und auf der anderen Seite in der gleichen Farbe wie das "x" die "1" an die 2 und in der anderen Farbe auf der gleichen Seite die "1" an die 3 und die "10" an die 2. Es ist sofort klar, dass die zwei mit dem Minus davor auf die andere Seite gewandert ist und auf der anderen Seite mitzieht. Die Bewegung in entgegengesetzte Richtungen der Addition wird nun auch bei der -2 übertragen und kann anschaulich gelöst werden. 

Für Dezimalbruchzahlen schreibe statt 1-10 die Zahlen von 0,1 bis 1 auf die andere Seite der Meterstabes, in dem die Löcher sind. Nun gehen die Zahlen zwar nur bis 10 aber man kann sich ja auch eine "20" mit 200g herstellen... und kommt dann bis 30, wenn man sie aneinanderhängt. man könnte auch noch "1" und "10" Säckchen herstellen, diese aber mit "0,1" und "1" beschriften. Hierbei muss dem "x" allerdings 90g zugefügt werden, um eine 1 als Lösung zu erhalten. Nun ist es natürlich möglich auch Lösungen bis 0,1 =x nachzustellen. Nebenbei lassen sich auch die Multiplikationen, die bei dem Volumen anschaulich werden kann, ein weiteres Mal allgemein darstellen. 0,5*0,5=? Probiere deine Lösung. Auch das Ausprobieren der Lösung muss erst verstanden werden, denn hier ist ja auch 0,1 mal die 0,5 =0,05 + 1 mal die 0,2, was dann zusammengesetzt 0,25 ergibt. Es war so leicht auf der anderen Waagenseite, dabei ist es doch nur der Aufdruck, der sich verändert hat. 

 Negative Multiplikation oder Division:  lässt sich  mit der Vorstellung darstellen, dass alles nun nach oben zieht, statt nach unten.  Das ließe sich mit Heliumballons erzeugen, die genau 10g eines Gegenstandes leichter machen. Dies ist natürlich aufwendig, aber für den ersten Versuch mit negativen Zahlen zu multiplizieren eine Attraktion. (Ein 10l Ballon hebt ca. 10 g). Zur späteren einfachen Verwendung des Bildes eines Ballons zeichne einen Heliumballon mit einer"-x" "-1" bzw"-10"  auf die Rückseiten der  Säckchen und bei jeder Multiplikation/Division mit negativen Zahlen drehen sich alle Säckchen um,  werden als Ballons abgehängt und auf die jeweils gegenüberliegende Seite wieder richtig herum aufgehängt. 

Gleichungssysteme

Wer mehrere Unbekannte in Linearen hat, kann diese natürlich durch mehr Laufgewichtswaagen realisieren und auch addieren (Zusammenhängen) oder subtrahieren (andersrum gedreht Zusammenhängen) von Gleichungen ist möglich. 

Gleichungen mehreren Grades  kann man mit Säckchen "x ^ 2" "x^ 3"... 10g Säckchen darstellen und dementsprechend füllen. Hierbei eignet sich eventuell markierte Waagenschritte zB, von 0,5 statt 1 als Aufkleber über die Markierung zu setzen. Panzertape hält ein Säckchen auch auf einer Multiplikation von 0,1  (1 cm) fest (das Gewicht des Panzertapes einfach auch auf die andere Seite). Anschaulich lassen sich an der Balkenwaage die positiven Lösungen und verbotene Umformung austesten und vorab eventuelle negative Lösung der Quadratwurzelziehens mit dem mit sich selbst multiplizieren von positiven und negativen Zahlen erneut darstellen. Natürlich wird es bei manchen Funktionen dann weniger praktikabel für die Balkenwaage

Computerapp? Ich finde ein Computerapp mit diesen Waagendarstellungen wünschenswert, an denen man genau das anschaulich ausprobieren kann und die Waage sofort den Fehler durch ein Ungleichgewicht anzeigt. Dadurch könnten auch -Zahlen an der Waage hängen, ohne es vorher zu sehen, ob es ein Luftballon war oder ein Gewicht. Es könnten auch zwei Zahlen in einem Säckchen sich verstecken. Ich freu mich auf die, die das realisieren würden - berechnen kann ja jeder Computer, super easy und immer im Gleichgewicht, aber verstehen kann man doch erst, wenn man Fehler machen darf, die dann sofort als solche zurückgemeldet werden. Schließlich führen oft einige Wege zum richtigen Ergebnis bei Gleichungen. Ein kleiner Umweg sollte erlaubt sein. Ein Programm könnte Fehler bei Materialproduktion und genaues Anhängen ausschalten und für alle individuell zugänglich machen. 

Quadratische Gleichungen: Was sind  Quadrate von x. Sieh dir an der Laufgewichtswaage positive Quadrate an - 

indem du nachsiehst, was mit dem Bremsweg passiert und das Auto 1, 2,3 ZehnerKm/h gefahren ist. Keine komplizierte Funktion sondern einfach nur y= x^2. Jetzt stelle dir die Geschwindigkeit vor mit -1, -2... Zehner km/Stunde. Berechne an der Balkenwaage. Das der Bremsweg nun vielleicht gleichgroß seien könnte, leuchtet als Ergebnis ein. Natürlich kann ein besserer Faktor eingesetzt werden, wenn realistischer an heutigen Automodellen.

Die Umformung des erlaubten Wurzelziehens kann mit Hilfe der Fläche von 1g Würfeln gezeigt werde. Dazu zeige an der Waage zum Beispiel die Gleichung 1+3=4:  lege die 40g als 4 Quadratdezimeter und lege 1g+3g als 1 und 3 Quadratdezimeter.. oder  5g+4g=9g. Es ist einleuchtend, dass wenn die Eine Seite ein Quadrat ergibt, die andere das gleiche Quadrat zeigt und auch dass die Quadratseitenlänge gleich ist. Bei 3g+2g=5 wird es zwar herausfordernd aus Papierkästchen ein Quadrat zu schnipseln, aber es lässt sich annähern und irgendwo wird eine Lösung für dieses Wurzelziehens sein. Warum nicht schöne Anwendungsaufgaben zunächst so lösen, wie der freie Fall und Aufprallgeschwindigkeiten: 9,8 reicht als Annäherung für g und h^2=v

Eine quadratische Gleichung wie x^2+4x=12 lässt sich mit Zeichnungen und an der Balkenwaage lösen: 

Die Fläche des x^2 lässt sich ein Quadrat auf weißem Papier zeichnen. Außen lassen sich 4 *x  als Fläche markieren und auch gleichmäßig zu zwei Rechtecken 2*x verteilen- jetzt fehlt auf der Seite noch ein Quadrat 2*2 um wieder ein ganzes Quadrat zu haben. Dazu mache an der Balkenwaage nun die Bewegung +4 (der quadratischen Ergänzung). Jetzt ist das Quadrat vollständig. - Und auf der anderen Seite hängen 16. die sind einfach in 4*4 in ein Quadrat gelegt. Vergleicht man die Seitenlängen der Quadrate erhält man x+2=4. Welches  natürlich auch an der Balkenwaage ausprobiert werden kann. Durch Überlegung dass das Quadrat ja auch ein negativer Ballon seien könnte, der im Quadrat auch 16 ergibt, erhält man die zweite Gleichung x+2=-4 wobei das x hier nun weil es ja negativ ist nun auf der anderen Seite hängt. (Dies ist an einer zweiten Waage darstellbar,  an der 4x auf die andere Seite in der Ausgangsgleichung hängt und entsprechend anders befüllt ist.) Für eine erste Anschauung könnte solch eine anschauliche Darstellung hilfreich sein. --> Vorausgesetzt man hat zuvor Flächenberechnung und die Bewegung an der Balkenwaage verstanden.