Funktionen

Steigung

Vorerfahrung: regelmäßig steigender, fallender Turmbau:

Es ist eine Herausforderung Türme so nebeneinander zu bauen, dass eine Bahn mit gerader Bahn zum Runterfahren entsteht. Baue solche Turmreihen mit Bausteinen, sodass jeder Turm die gerade Schiene berührt. Welche unterschiedlichen Steigungen kannst du erzeugen mit 4 Türmen und 30 1cmx1cmx2cm Bausteinen (LängexHöhexTiefe? Wie viel höher wird jeder neue Turm? Wieviel höher ist jeder zweite,dritte vierte Turm. Stelle dir vor du baust weiter. Wie hoch wäre der 10.Turm, wie hoch der ...Turm.

Schaffst du auch flachere Steigungen zu erzeugen, dass man noch leichter mit dem Fahrrad bergauf fahren könnte? Baue nun nur jeden, jeden zweiten, dritten, vierten Turm höher. 

Prozentuale Steigung: Was meinst du wie viele Zentimeter du hoch du kommst, wenn du den Turm 1m lang weiter bauen würdest? Haltet ein langes Brett in Über die Türme. Legt den golden Meter genau an den Berührpunkt auf dem Boden. Stellt nun den Prozentimeter senkrecht auf den Endpunkt und bestimmt näherungsweise die prozentuale Steigung. Schätzen und nachmessen kann man auch, bevor man die genaue Zentimeterhöhe des 100. Bausteins errechnen kann. Eine erste Rechnung kann im ersten Zehnerschritt und dann in zehn Zehnerschritten ermittelt werden, wie in der Multiplikation mit Metern in der Grundschule beschrieben.

Funktionsuntersuchung in erster und zweiter Ableitung

Beispiel Fülllinie:

Suche dir unterschiedliche Glasgefäße, wie z. B. Vasen, die ca. 1 Liter füllen. Schneide jeweils aus dem 1cm karierten Papier 1cm breite Papierstreifen ab. Schütte nun je einen Deziliter in das Gefäß und schneide jeweils aus dem 1cm karierten Papierstreife die Höhe der Fülllinie ab und klebe diese Papierstreifen nebeneinander auf eine Linie. Notiere einen Punkt an der linken oberen Ecke jedes Papierstreifens. Wie unterscheiden sich die Papierstreifenbahnen der unterschiedlichen Gläser. Wann liegen alle Punkte auf einer Linie. Das Abschneiden des Papierstreifens ist ein sehr direkter Weg zu einer Funktion zu kommen. 

(Regelmäßige Steigung intuitiv entdecken) Untersuche ein zylindrisches Glas nocheinmal. Schütte jetzt nicht immer einen Deziliter, sondern mal 2, mal 1 mal 3 in das Glas. Was fällt dir bei den Papierstreifen auf?  Was würdest du über das Glas sagen, ohne zu wissen, dass nicht immer 1 Deziliter in das Glas gekippt wurde?- Gleiche Abstände sind wichtig für den Vergleich von Steigungen. Kannst du bei solchen Gläsern auch vorhersagen, wie hoch das Wasser stehen wird.

Nimm ein anderes prismaförmiges Glas und probiere das Gleiche aus. 

Diese Punkte lassen sich auch an der Tafel vergrößert darstellen. Als Punkte können die Magnetepunkte befestigt werden. Die flexible Funktionsschiene kann nun daran befestigt werden und bildet einen Funktionsverlauf angenähert ab. Nun kann untersucht und verglichen werden, wie steil es wirklich ist.  Der Begriff Steigung bekommt durch die aufgelegte Bahn die Bedeutung und kann nun verglichen werden. 

(Alternativ kann aus den Bausteinen die Türme nebeneinandergestellt werden. Der oberste Stein ist eine Halterung für die Funktionsbahn. Noch in Arbeit) 

1. Ableitung, Extrempunkte/: Mit der Funktionsschiene kann man gut erkennen, wo es Berg (Hoch) und Hügeltäler (Tiefpunkte) gibt, und dass es dort eine ganz besondere Stelle gibt, an denen das x- waagerecht bleibt ohne sich mit der Steigung der Bahn zu drehen. Um die Steigung noch deutlicher zu machen, können rechts und links an das x Zahnstocher befestigt werden, die die Steigung abbilden. Jetzt kann entschieden werden, welches der drei Fähnchen dieser x-Wert für die Steigung bekommt.