Brüche

Erste Brüche in Rezepten: Warum stehen von "früher" so viele Brüche in Rezepten? Vielleicht, weil es kaum Messbecher gab? Wer so misst, bekommt eine gute Vorstellung von Bruchanteilen. 

Weiteres Material siehe Material Backen mit Decemi

Material in gleiche Teile teilen funktioniert mit der 

• Gewichtsteilung, indem man in gleichschwere Anteile teilt

• der Volumenteilung, indem gleich hoch in gleiche Gefäße geschüttet wird 

• Längenteilung, indem in prismaförmigen durchsichtigen Gefäßen der Füllhöhe geteilt wird. Oder das Material zu einer Schlange rollt und die Länge gerecht teilt (Kekse, kleine Pizzas etc. backen)

• Mengenteilung, indem man die Anzahl an Hunderter, Zehner, Einer, Dezis, Zentis, Millis...teilt

Schon im Kindergarten können solche gerechten Teilungen ergebnisorientiert durchgeführt werden. (Beispielbild an der Waage, Halbieren einer Schnurlänge durch Doppeltlegen (Schlaufenanzahl legen zB. beim Basteln von gleichlangen Barthaaren), gleichmäßiges Schütten in zwei Gefäße, Mengen gerecht ein Teil nach dem anderen verteilen,

In dem Grundschulmaterial ist die Teilung als Division schon beschrieben. Deshalb können Lernende in der Grundschule in allen Bereichen Anteile mit kleinen Gramm-, Millimeter-, Milliliter- oder Verteilungsresten genau bestimmen.

Ich finde es wichtig, diese Entdeckungs-und Erkundungsmöglichkeit jedem Kindergarten- und Schulkind zu ermöglichen. Ohne solche vielfältigen Lernsituationen wird die Bruchrechnung herausfordernd. Die Lebenswelt vieler Kinder hat sich verändert. Diese Situationen gab es früher in jedem Alltag und sind heute zur Ausnahme geworden, weil vieles günstig fertig gekauft werden kann.

Bruchanteile herstellen -->mit decimi Volumen messen

Bruch in Dezimalzahl? Einen halben Liter abzumessen ist mit zwei 10 Dezilitergläsern leicht gemacht, indem man den Liter gerecht auf beide Dezilitergläser aufteilt. 5 Deziliter sind schon von den jüngsten abzulesen und ältere teilen die Anzahl der 10 Striche auf zwei. In die Tabelle geschrieben eine 0 bei Litern mit dem erklärten Komma nach der genannten Einheit sind aus der Tabelle 0,5 Liter als Maß für 1/2 Liter abzulesen. Anders natürlich bei 1/3 Liter, bei dem man nur durch teilendes Zählen der Striche kommt man darauf, dass bis zum Schluss immer noch ein Milliliter noch nicht geteilt ist. Die 0,333 l+1ml/3 stehen aber schon da und die Regelmäßigkeit der periodischen 3 der Mathematik  ist nach dreimaligem Teilen für viele Kinder nachzuvollziehen.

Andere Anteile von etwas bestimmen: 

Mit dem Decemi- Material lässt sich auch Ausgangsfüllung und den Bruchanteil davon bestimmen. Dazu einfach die Menge eines beliebigen Glases in das Deziliterglas füllen und alles Wasser bis zum nächstmöglichen Markierungsstrich in das 10-Zentiliterglas schütten. Der Boden stellt Markierungsstrich 0 dar. Diesen Vorgang bis zum Milliliterglas wiederholen. Nun lies ab, wie viele Deziliter, Zentiliter und Milliliter das ganze Glas fasst. Alternativ kannst du die Ausgangswert zB. 1/2 von 384? als 1/2 von 384 ml so bestimmen, indem du das 10- Deziliterglas bis zum 3. Füllstrich, das 10 Zentiliterglas bis zum 8. Füllstrich und das 10- Milliliterglas bis zum 4. Füllstrich  befüllst.. Dann teile gerecht die Deziliterstriche und fülle ein weiteres 10- Zentiliterglas mit dem übriggebliebenen Deziliter. Notiere wie viele Deziliter jeder bekommen hat in einer Tabelle.  Teile nun die Zentiliter und die Millilliter ebenfalls gerecht und denk daran deine Verteilung zu notieren. Dann kannst du das Ergebnis ablesen. Natürlich kann auch die komplette Rechenüberlegung der schriftlichen Division analog dazu erarbeitet werden.

Andere Anteile bestimmen:

Bestimme die Ausgangsfüllung und teile nun

Grundrechenarten mit Brüchen:

Ob weitere Bruchrechnung ein Gewinn im Altag ist, sei dahingestellt. Schön zu können, aber für die Praxis meist unnötig, da die einfache Lösung in Dezimalzahlen ausreicht. ( es wird Zeit, dass es auch kein Muss ist, dies verstanden zu haben, sondern eine Zusatzqualifikation. Die Anteilsvermittlung finde ich für jede Statistik jedoch ein wichtige Grundqualifikation, die jeder nach seiner Schulzeit erreicht haben sollte. Eine nichtssagende Benotung über das ganze Thema finde ich nicht zielführend. Ein Grundqualifikationszertifikat und eine Zusatzqualifikation im Zeugnis festzuhalten, um eventuell die Grundqualifikation zur späteren Zeit erfolgreich individuell nachzuholen, finde ich wünschenswert für unsere Gesellschaft. Hier jedoch der Versuch die Regeln der Bruchrechnung einmal in der Praxis zu betrachten und vielleicht den ein oder anderen Trick der Mathematik zu verstehen.)

Für die Addition von Brüchen könnte man zusammenschütten und messen wie viel es ungefähr ist. Eine Lösung, die mit den 10 Strichegläsern durchaus gut messbar und mit Überlegung der addierten Strichanzahl zu einem genauen Ergebnis führt. In der Mathematik ist man jedoch von allgemeinen Regeln überzeugt und lernt Regeln, wie man Brüche einfach Brüche lässt. Dies ergibt für mathematische Überlegungen an vielen Stellen Sinn. Um sich von der einfachen Umwandlung in Dezimalzahlen zu lösen verwende für die Aufgabe keine 10 Strichegläser sondern viele gleiche zylindrische oder gleiche kubische Gläser ohne Markierungen. Gewürzbecher und Vorratsgläser sind in dieser Form zu bekommen. Im weiteren sind solche Gläser gemeint.

Additionstrick 

Zeige die Addition von Brüchen mit Gläsern:

1/2+1/2 : Fülle das erste Glas, und Fülle es in zwei andere und stelle das leere Glas weg. Nun stehen dort zwei halbe Gläser notiere die Rechnung =2/2 und zwei halbeGläser sind wieder ein ganzes=1, indem du es zusammenschüttest. 

1/3+1/3 = 2/3 Teile das Glas auf drei Gläser auf und Schütte zwei davon zusammen=2/3 und nenne den Bruch

2/3+1/3= Schütte das 2/3 Glas mit dem 1/3 zusammen und nenne 3/3=1 (1 ganzes Glas)

1/4 ... analog von Kindern gezeigt.

Weitere Rechnungen 2/5+1/5 oder auch 5/8 +4/8 können zum Verständnis beitragen.

1/3+1/2? Produziere wieder 1/3 und 1/2 Gläser. Schütte alles andere weg. Wie viel ist es zusammen.  Geratene Ergebnisse werden hergestellt und verglichen. Jetzt kann man nicht zusammenzählen? Aber ich kenne einen Trick: Teile das halbe Glas auf 3 Gläser und das 1/3 Glas in zwei Gläser. Lustig, dass nun in jedem Glas gleich viel drinnen ist, oder? Überlege warum und wie viel? 1/6 Liter , da jeder Liter nun in 6 Teile geteilt worden wäre, hätte man die andere Hälfte und die anderen 2/3 auch analog geteilt. Mit Kreisanteilen lässt sich der Zaubertrick anschaulich machen, was passiert ist. Und nun lässt sich zusammenzählen, dass es auf 5/6 Liter kommt. 

Das Schütten macht Spaß und kann eine Ergänzung zur bekannten Kreis-/Rechtecks-darstellungen sein. 

Probiere weitere Aufgaben.

Für die Subtraktion dürfen natürlich wieder nur gleiche Brüche zusammengezählt werden. 

1-1/2 Fülle 1 Glas.  und sage dass ein halbes Glas nun weggeschüttet werden soll. Dazu musst du den Liter wieder in 2 Teile teilen 2/2-1 und kannst dann den halben Liter von den zwei halben Litern wegnehmen.

1/2-1/3=? Stelle  wieder 1/2 Glas und ein 1/3 Glas auf und markiere den Füllstrich bei dem 1/3Glas. Schütte nun von dem 1/2 Glas in das 1/3 Glas und frage, welcher Bruchteil noch übrig ist? Auch 1/3 kann von einem Liter erst weggenommen werden, wenn man zuvor in drei Teile geteilt hat.  Anschließend löse die Aufgabe mit dem gleichen Trick wie bei der Addition. 

Für die einfache Multiplikation 

2/3*2 Teile das Glas auf drei Gläser. Markiere die Füllstriche 1/3 und 2/3 an jedem Glas mit Klebefilm oder abwischbarem Stift. Fülle nun 2Gläser zu 2/3. Zähle die Drittel=4/3. Wie viele Gläser bekommen wir nun voll?=1 1/3  Probiere weitere Aufgaben auf diese Weise zu lösen.

Für die einfache Division 

1/4:2= Produziere ein Viertelglas. Markiere den Füllstrich. Teile es auf zwei Gläser. Frage, wie viel Anteil nun noch im Glas sind? Teste aus, ob das Ergebnis stimmt. Dann unterteile das Glas zur Hilfe in 1/4, 2/4 und 3/4 und lasse alles in gleich große Stücke teilen, indem jeweils die Zwischenlinien auf den Hälften ergänzt werden.

2/3:3= Etwas größere Gläser lassen auch diese und weitere Rechnungen veranschaulichen.

Für Multiplikation von Brüchen überlege, was eine Multiplikation mit 1/2 bedeutet. also das Halbfache =Hälfte des anderen Bruchteils. Also teile das Wasser auf 2 auf und überlege den Anteil vom Kreis. Analog wären die Überlegungen zum 1/4- fachen = Viertel des anderen, 3/4 fachen =dreimal das Viertel des anderen. Dabei die angewendete Rechenregel dazunotieren.

Für die Division von Brüchen  überlege, wieviele Gläser du bekommst, wenn man ein Glas  in halb markierte Gläser schüttet und probiere es aus. Wie viele Gläser werden voll? Wie viele Gläser werden voll wenn man 4/3 Deziliter in 2/3 Deziliter-Gläser schüttet? uws.